【数学期望的六个公式】在概率论与数理统计中，数学期望是一个非常重要的概念，它反映了随机变量在长期试验中的平均表现。数学期望不仅用于理论分析，也在实际问题中有着广泛的应用。以下是数学期望的六个常见公式及其应用场景的总结。
一、基本定义
数学期望（Expected Value）是随机变量在所有可能取值上按照其概率加权后的平均值。设 $ X $ 是一个随机变量，其概率分布为 $ P(X = x_i) = p_i $，则数学期望 $ E(X) $ 定义为：
$$
E(X) = \sum_{i} x_i p_i
$$
适用于离散型随机变量。
二、数学期望的六个公式总结
| 公式编号 | 公式名称 | 公式表达式 | 适用类型 | ||||
| 1 | 离散型随机变量期望 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $ | 离散型 | ||||
| 2 | 连续型随机变量期望 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | 连续型 | ||||
| 3 | 线性性质 | $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $ | 任意随机变量 | ||||
| 4 | 常数期望 | $ E(c) = c $（其中 $ c $ 为常数） | 常数 | ||||
| 5 | 随机变量函数的期望 | $ E(g(X)) = \sum_{i} g(x_i) p_i $ 或 $ \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx $ | 函数形式 | ||||
| 6 | 条件期望 | $ E(X | Y=y) = \sum_{i} x_i P(X=x_i | Y=y) $ 或 $ \int x f_{X | Y}(x | y) dx $ | 条件概率模型 |
三、公式说明与应用
1. 离散型随机变量期望：适用于有限或可数个取值的随机变量，如掷骰子、抽样等。
2. 连续型随机变量期望：适用于连续分布，如正态分布、均匀分布等。
3. 线性性质：这是数学期望的一个重要性质，可以简化多个随机变量的组合计算。
4. 常数期望：常数的期望就是它本身，这在处理随机变量的偏移时很有用。
5. 随机变量函数的期望：用于计算非线性变换后的期望值，例如 $ E(X^2) $、$ E(\sqrt{X}) $ 等。
6. 条件期望：用于在已知某些信息的情况下计算期望，是贝叶斯推理和条件概率的重要工具。
四、小结
数学期望是概率论中最基础且最实用的概念之一，掌握其六个基本公式有助于理解随机现象的长期行为，并在实际问题中进行建模与预测。无论是金融、工程还是数据分析，数学期望都是不可或缺的工具。
通过上述表格，我们可以清晰地看到不同场景下数学期望的表达方式及其适用范围，便于快速查阅和应用。
